김야키

[BPSK, C언어 코드] 신호 송/수신 Simulation

김야키 — Tue, 7 Sep 2021 15:54:45 +0900

코드 작동 순서

기본적으로 신호는 전송할 때 modulation을 수행
Modulation을 수행된 각 bit는 -1 또는 1로 매핑 시켜서 symbol로 전송
수신측에서는 평균이 0이고 표준편차가 1인 노이즈가 더해진 symbol을 수신
수신된 symbol을 dicision을 수행해서 기존의 bit로 변환
수신된 bit와 기존 bit를 계산하는 BER(Bit Error Rate)와 SER(Symbol Error Rate)를 계산
1000000개의 bit를 송/수신 및 BER과 SER을 계산

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
#define PI 3.141592
 
// 복소 평면상의 좌표 (Symbol)
typedef struct {
    // BPSK는 축이 하나만 존재하는 좌표
    double R; // Real
}Signal;
 
// 전송받은 Symbol을 bit로 변환
void Decision_bit(Signal *signal, int* decision_bit);
// Symbol을 전송받은 것으로 간주하여 noise가 추가 됨
void Receive_signal(Signal *signal);
// 평균이 0, 분산이 1인 가우시안 노이즈 생성
double AWGN_generator();
// 가우시안 노이즈에 dB에 따라 변하는 noise power를 곱해서 반환
double noise_gen();
// BPSK Modulation
void BPSK(Signal *signal, int bits);
// 0 또는 1의 bit를 생성
int bit_generator();
 
double db = 0.;
double noise_pow = 0.;
 
int main(int argc, char* args, char** argv) {
 
    // 전송하는 모든 Symbol의 수
    double Total_symbol = 1e+06;
    
    // 전송하는 bit
    int bit = 0;
    // 전송받아 판별된 bit
    int decision_bit = 0;
 
    // 전송되는 Symbol
    Signal signal;
 
    double Bit_Error_Counter;
 
    // dB 스케일된 Eb/N0를 증가시키는 반복문
    for (db; db < 20; db++) {
 
        // 시뮬레이션 dB로 만들도록 EbN0에서 noise power를 조절
        noise_pow = pow(10.0, -((double)db / 10.0));
 
        Bit_Error_Counter = 0.;
 
        // 모든 Symbol수 만큼 반복
        for (int j = 0; j < Total_symbol; j++) {
 
            // BPSK: 1bit
            bit = bit_generator();
            BPSK(&signal, bit);  // Modulation
            Receive_signal(&signal);    // Symbol 받음
            Decision_bit(&signal, &decision_bit);    // Symbol을 bit로 변환
 
            // bit가 다르면 Bit_Error_Counter를 1씩 증가
            if (decision_bit != bit) {
                Bit_Error_Counter++;
            }
        }
 
        // Bit Error Rate를 계산
        double BER = Bit_Error_Counter / (double)Total_symbol;
        // 출력
        printf("%f\n", BER);
 
        // BER이 0이면 종료 (굳이 끝까지 반복할 필요는 없음)
        if (BER == 0.0) {
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}
 
void Decision_bit(Signal *signal, int* decision_bit) {
    if (signal->R >= 0) // 전송받은 Symbol이 0보다 큰 경우
        *decision_bit = 1; // 판별된 bit는 1
    else // 전송받은 Symbol이 0보다 작은 경우
        *decision_bit = 0; // 판별된 bit는 0
}
 
void Receive_signal(Signal *signal) {
    // 전송 받은 Symbol에는 Noise가 추가 됨
    signal->R = signal->R + noise_gen();
}
 
double AWGN_generator()
{
    double temp1;
    double temp2;
    double result;
    int p = 1;
 
    while (p > 0)
    {
        // RAND_MAX = 32757
        temp2 = (rand() / ((double)RAND_MAX));
 
        if (temp2 == 0)
        {// temp2 is >= (RAND_MAX / 2)
            p = 1;
        }// end if
        else
        {// temp2 is < (RAND_MAX / 2)
            p = -1;
        }// end else
 
         //temp2
 
    }// end while()
    temp1 = cos((2.0 * (double)PI) * rand() / ((double)RAND_MAX));
    result = sqrt(-2.0 * log(temp2)) * temp1;
 
    return result;
 
}// end AWGN_generator()
 
double noise_gen()
{
    double awgn_sig = 0.;
    awgn_sig = noise_pow * AWGN_generator();
 
    return awgn_sig;
}
 
void BPSK(Signal *signal, int bits) {
    if (bits == 1) // Bit: 1 -> Symbol: +1
        signal->R = 1.0;
    else // Bit: 0 -> Symbol: -1
        signal->R = -1.0;
}
 
int bit_generator() {
    return rand() % 2;
}
Colored by Color Scripter

cs

Simulation 결과

BPSK in AWGN

Eb/N0 (dB)	BPSK
0	0.158716
1	0.104072
2	0.056457
3	0.023073
4	0.005964
5	0.000779
6	0.000033

04-05. Channel Coding and Error Control

김야키 — Mon, 19 Jul 2021 21:43:22 +0900

4.5 Convolutional Code

개념

실제적인 통신 환경에서 가장 많이 사용되는 채널 코딩
- GSM 혹은 IS-95등
주로 실시간 오류 수정에 사용
Coding된 bit들은 현재의 k개의 입력 데이터 bit에게만 영향을 받을 뿐만 아닌 과거 입력 bit에게도 영향을 받음

Theorem

Convolutional code의 주된 decoding 방식으로는 Viterbi알고리즘에 근거됨
구속장(Constraint Length) K는 아래와 같이 정의 됨
$$
K = M + 1
$$
- M은 생성 shift register에서 연산 단계의 최대 수를 표현
Shift register는 convolutional code의 상태 정보를 담고 있으며, constraint length에 따라 출력값이 영향을 받는 전/후의 비트 수가 정해짐
Convolutional code의 code ratio인 r은 다음과 같이 정의 됨
$$
r = \frac{k}{n}
$$
- k: 병렬 입력 정보의 bit 수
- n: 하나의 시간 구간 동안에 병렬 출력 code bit 수
n=2, k=1, 즉 r이 1/2인 convolutional code의 coder를 다음과 같이 볼 수 있음
- 출력 bit는 입력 bit와 shift register에 들어 있는 두 개의 과거 bit(D로 표현된)로부터 정해짐

Convolutional code는 tree diagram이나 trellis diagram등 여러가지의 서로 다른, 그러나 상응한 방법으로 표현이 가능
아래 그래프는 위의 coder의 state shift를 나타낸 것

각각의 새로운 정보 bit는 한 상태(State)로부터 다른 상태로의 shift를 유발
상태(D₁ D₂)들 간의 경로 정보는 출력 비트들(C₁ C₂)과 상응 하는 임력 데이터 bit(x)를 표현
- Convolutional code는 모두 0인 상태에서 시작하는 것이 일반적임

이어서 작성 중...

04-04. Channel Coding and Error Control

김야키 — Fri, 16 Jul 2021 12:31:57 +0900

4.4 순환 덧붙임 검사(CRC: Cyclic Redundancy Check)

개념

데이터 통신 시스템과 기타 여러 직렬 데이터 전송시스템에서 쓰이는 error cehck code
송신기는 각각 프레임마다 여분의 n bit 수열을 추가하여 전송
- 이렇게 추가된 bit 수열을 프레임 검사 수열(FCS, Frame Checksum)이라고 부름
FCS는 수신기에서 수신한 프레임에 포함된 오류의 검출을 도와주는 여분의 정보를 가지고 있음
CRC는 모듈로 연산에 사용한 다항식 처리과정을 기초로 수행

Theorem

기본 정의

한 블록의 입력 bit를 다항식의 계수 집합으로 간주
- 예를들어 이진수 10100이 입력되면 다음과 같은 다항식으로 표현 됨
  $$
  0\cdot x^4 + 0\cdot x^3 + 1\cdot x^2 + 0\cdot x + 1\cdot x^0
  $$
- 가장 지수가 큰 자리가 가장 마지막 자리로 표현 됨
- 이진수 10100의 가장 오른쪽이 최소 중요도 비트(LSB, Least Significant Bit)
  - 숫자 값의 크기에 가장 영향을 덜 미치는 유효 숫자
- 이진수 10100의 가장 왼쪽이 최대 중요도 비트(MSB, Most Significant Bit)
  - 숫자 값의 크기에 가장 크게 영향을 미치는 유효 숫자
일정 계수를 가진 두 번째 다항식을 생성 다항식으로 부름
생성 다항식으로 메시지 다항식을 나누어 몫과 나머지를 생성
나머지의 계수들을 비트로 환산한 것이 최종 CRC bit 수열이 됨
변수들 정의
- Q: k bit 비트 길이의 전송 프레임
- F: Q에 추가될 n - k 비트의 FCS
- J: Q와 F를 연결하여서 만든 수열
- P: CRC 생성 다항식

연산 과정

CRC 알고리즘에 의하면 J는 P로 정확하게 나누어 떨어져야 함
$$
J = Q\cdot x^{n-k}+F
$$
이 관계에 의하면 Q(k bit의 길이)는 좌측으로 n - k bit만큼 이동되며, 그 뒤에 F(n - k bit 의 길이)가 추가됨
Qx^n-k를 P로 나누면 아래와 같은 관계를 얻을 수 있음
$$
\frac{Q\cdot x^{n-k}}{P}=Q+\frac{R}{P}
$$
아래 식에서의 R은 위에서 얻은 나머지로 표현
$$
J = Q\cdot x^{n-k}+R
$$
이 J 값은 J/P 연산을 할 경우 나머지가 0이 됨
- 참고) XRO 연산에서는 A + A = 0

자주 사용되는 CRC 형식

CRC 종류	다항식
CRC-12	x^12 + x^11 + x^3 + x^2 + x + 1
CRC-16	x^16 + x^15 + x^2 + 1
CRC-CCITT	x^16 + x^12 + x^5 + 1
CRC-32	x^32 + x^26 + x^23 + x^22 + x^16 + x^12 + x^11 + x^10 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1

04-03. Channel Coding and Error Control

김야키 — Fri, 16 Jul 2021 12:29:49 +0900

4.3 순환 부호 (Cyclic Code)

개념

Linear Block Code의 종속 부류로 보다 실용적인 구현을 가증하게 하는 순환 구조를 가지고 있음
장점
- 부호화가 쉬움
순방향 오류 정정(FEC, Forward Error Check) 시스템에서 사용되는 coding과 decoding가 shift register로 수행되는 cyclic code로 구성됨
Cyclic code에서 한 code(임의의 cyclic)의 shift는 다른 code를 만들게 되므로, 다항식 형태의 수학적 표현이 사용

Theorem

기본 정의

n bit의 coder는 다음과 같이 다항식으로 표현 됨
$$
c(x) = c_{n-1}x^{n-1} + c_{n-2}x^{n-2} + \dots + c_2x^2 + c_1x+c_0, \
\mbox{상수 }c_i(i=1, 2, ..., n)\mbox{ 은 0 또는 1의 값을 가짐}
$$

연산 과정

Coder는 데이터 다항식 m(x)와 checksum 다항식 c_p(x)의 함수로 표현
$$
c(x) = m(x)x^{n-k}+c_p(x)
$$
여기서 checksum 다항식 c_p(x)는 m(x)x^(n-k)를 생성 다항식 g(x)로 나눈 나머지를 의미
$$
c_p(x)=\mbox{rem}\left[\frac{m(x)x^{n-k}}{g(x)}\right]
$$
오류 다항식을 e(x)라고 표현하면 수신 신호 다항식과 Syndrome 다항식 간의 관계는 다음과 같음
$$
s(x)=\mbox{rem}\left[\frac{c(x)+e(x)}{g(x)}\right]
$$
오류가 없는 경우 s(x) = 0 으로 계산 됨
(n, k) code는 n - k의 linear feedback shift register를 이용하여 쉽게 생성 됨
Syndrome s(x)도 동린한 linear feedback shift register을 통하여 생성 됨

예시

(7, 4)의 Cyclic code를 구하는 과정

m(x)와 g(x)는 다음과 같이 주어짐

$$
m(x)=1+x+x^2+0\cdot x^3\
g(x)=1+x+x^3
$$

다항식 c_p(x)는 다음과 같이 구할 수 있음

$$
c_p(x) = \mbox{rem}\left[\frac{m(x)x^{n-k}}{g(x)}\right] = \mbox{rem}\left[\frac{(0\cdot x^3+x^2+x+1)x^3}{x^3+x+1}\right] = x
$$

이 경우 Cyclic code는 다음과 같이 구해짐
$$
c(x) = m(x)+c_p(x) = x^5+x^4+x^3+x
$$

문제

$$
m(x)=x^10+x^8+1,\quad g(x)=x^4+x+x
$$

로 주어진 Cyclic code 시스템을 고려할 때 c(x)를 구하시오.

데이터 다항식 m(x)와 checksum 다항식 c_p(x)는 아래와 같이 구해짐
$$
m(x)x^{n-k}=m(x)x^4 = x^{14}+x^{12}+x^4
$$
$$
c_p(x) = \mbox{rem}\left[\frac{m(x)x^4}{g(x)}\right]\
= \mbox{rem}\left[\frac{x^{14}+x^{12}+x^4}{x^4+x+x}\right]\
= x^2 + 1
$$
따라서 c(x)를 구하는 식을 이용하면 아래와 같은 coder를 얻을 수 있음

04-02. Channel Coding and Error Control

김야키 — Thu, 15 Jul 2021 16:05:40 +0900

4.2 선형 블록 코딩 (Linear Block Code)

개념

선형 블록 코딩에서는 전송된 정보열은 항상 미리 선정된 길이 k의 배수로 설정 됨
- 그렇지 않으면 필요한 만큼의 0을 padding으로 넣어서 길이가 k의 배수가 되도록 만듬
각각의 k비트는 (n, k) 선형 블록 코딩에서 n비트의 코드로 코딩됨
- 예를들어 (8, 6) 코드의 경우 코드 블록의 길이 n = 8이고, 메시지의 길이 k = 6, Parity 길이 n - k = 2가 됨
- 참고) Parity: 전송받은 메시지의 오류를 검출하거나 검증할 때 사용되는 bit
Linear Block Code의 큰 특징은 code와 code의 XOR연산의 결과로 또 다른 code를 생성하는 특징을 가짐
(n, k)부호에는 2^n개의 서로 다른 조합의 code가 존재
- 하지만 Linear Block Code는 k개의 정보 bit로부터 출발하기 때문에 2^k개의 조합만이 code로서 허용 됨
즉, 2^n개의 가능한 비트 유형 가운데 2^k개를 선택하여 이를 coder의 집합으로 정의

Theorem

기본 정의

부호화를 위한 k개의 데이터 비트를 아래와 같이 벡터 m으로 정의
$$
\mathbf{m}=(m_1, m_2, ... , m_3)
$$
이 정보에 상응하는 부호어를 아래와 같은 n비트 길이의 벡터 c로 정의
$$
\mathbf{c}=(c_1, c_2, ... , c_k, c_{k+1}, ... , c_{n-1}, c_n)
$$
각각의 parity bit는 ⨁(XOR) 심벌로 표현되는 [모듈로-2의 가중치 합으로 구성](XOR 연산으로 구성)
- 다음과 같이 예를 들어 보면
  $$
  \begin{cases}
  c_1 = m_1\\
  c_2 = m_2\\
  \cdots\\
  c_k = m_k\\
  c_{k+1} = m_1p_{1(k+1)}\oplus m_2p_{2(k+1)}\oplus\dots\oplus m_kp_{k(k+1)}\\
  \cdots\\
  c_n = m_1p_{1n}\oplus m_2p_{2n}\oplus \dots \oplus m_kp_{kn}
  \end{cases}
  $$
- 이 식에서
  $$
  p_{ij}=(i=1,2,\dots,k,\quad j=k+1, k+2, \dots, n)
  $$
  은 특정 데이터 비트에 대한 이진 가중치를 의미
Coding의 원리는 전송측에서 parity를 만들어서 첨가하고 수신측에서는 이 parity를 이용하여 전송 중에 발생할지도 모를 오류에 대응 한다는 것

연산 과정

행렬의 표현 형식을 고려해 보면 coder c는 원본 데이터 벡터 m에 대한 아래의 연산으로 표현
$$
\mathbf{c}=\mathbf{mG}
$$
이 식에서 G는 생성 행렬로 정의 됨
- 생성 행렬 G는 k X n의 행렬이어야 하며, I_k의 항등 행렬(k X k 행렬)과 k X (n - k)의 parity 행렬 P를 연결한 구조로 생성 즉,
  $$
  \mathbf{G}=[\mathbf{I}k|\mathbf{P}]{k \times n}
  $$
  또는
  $$
  \mathbf{G}=
  \begin{bmatrix}
  1&0&0&\cdots&0&p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1(n-k)}\\
  0&1&0&\cdots&0&p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2(n-k)}\\
  \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\
  0&0&0&\cdots&1&p_{k1}&p_{k2}&\cdots&p_{k(n-k)}
  \end{bmatrix}
  $$
생성 행렬은 다음과 같이 표현

Parity 행렬 P는 다음과 같이 주어짐
$$
\mathbf{P}=
\begin{bmatrix}
p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1(n-k)}\\
p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2(n-k)}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
p_{k1}&p_{k2}&\cdots&p_{k(n-k)}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\mathbf{P}^1\\
\mathbf{P}^2\\
\cdots\\
\mathbf{P}^k
\end{bmatrix}
$$
이 식에서
$$
\mathbf{P}^i\mbox{는 }\quad i=1, 2, \dots, k\mbox{ 일때, } \left[\frac{x^{n-k+i-1}}{g(x)}\right]\mbox{의 나머지}
$$
g(x)는 생성 다항식으로서
$$
\mathbf{P}^i=\mbox{rem}\left[\frac{x^{n-k+i-1}}{g(x)}\right]
$$
으로 정의 됨

예시

어떤 (7, 4) code의 생성 다항식이
$$
g(x)=1+x+x^3
$$
일 때 Linear Block Code를 구하는 과정이다.

H의 전치 행렬 과정

이 경우 code(7) = data(4) + parity(3) 임을 알 수 있으므로 아래 관계들을 유도할 수 있음
$$
\mathbf{P}^1 = \mbox{rem}\left[\frac{x^3}{1+x+x^3}\right] = 1+x \rightarrow [110]
$$$$
\mathbf{P}^3 = \mbox{rem}\left[\frac{x^5}{1+x+x^3}\right] = 1+x+x^2 \rightarrow [111]
$$
그리고
$$
\mathbf{P}^4 = \mbox{rem}\left[\frac{x^6}{1+x+x^3}\right] = 1+x^2 \rightarrow [101]
$$
$$
\mathbf{P}^2 = \mbox{rem}\left[\frac{x^4}{1+x+x^3}\right] = x+x^2 \rightarrow [011]
$$
따라서 생성 행렬은 다음과 같이 구해 짐
$$
\mathbf{G}=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&1&1&0\\
0&1&0&0&0&1&1\\
0&0&1&0&1&1&1\\
0&0&0&1&1&0&1\\
\end{bmatrix}
$$
편의를 위하여 code 벡터를 아래와 같이 표현
$$
\mathbf{c}=[\mathbf{m}|\mathbf{c}_p]
$$
이 식에서
$$
\mathbf{c}_p=\mathbf{mP}
$$
는 (n - k) bit의 parity check 벡터임
행렬 HT를 생성 행렬 G를 이용하여 다음과 같이 정의

오류 벡터를 e라고 할 때 수신 code 벡터 x가 아래와 같이 주어졌다 가정한다.
$$
\mathbf{x}=\mathbf{c}\oplus\mathbf{e}
$$
이 경우 행렬 HT는 다음과 같은 성질을 가짐
$$
\mathbf{cH}^T = [\mathbf{m}|\mathbf{c}p]\begin{bmatrix}\mathbf{P}\\ \mathbf{I}{n-k}\end{bmatrix}\\
= \mathbf{mP}\oplus\mathbf{c}_p\\
= \mathbf{c}_p\oplus\mathbf{c}_p\\
= \mathbf{0}
$$
HT 행렬의 전치 행렬은 다음과 같음
$$
\mathbf{H}=[\mathbf{P}^T\mathbf{I}_{n-k}]
$$
이 식에서 In-k는 (n - k) X (n - k)의 항등 행렬이고 PT는 parity 행렬 P의 전치 행렬이다.
- 이 H를 parity check 행렬 이라 부른다.

오류 검출 과정

수신측에서는 아래와 같은 연산으로 Syndrome 으로 명명된 벡터를 구하게 됨
$$
\mathbf{s} = \mathbf{xH}^T\\
=(\mathbf{c}\oplus \mathbf{e})\mathbf{H}^T\\
= \mathbf{cH}^T\oplus \mathbf{eH}^T\\
= \mathbf{eH}^T
$$
백터 s는 (n-k)차원을 가짐
- 만일 전송 오류가 없을 시 위의 Syndrome을 구하는 수식을 수신 벡터 x에 적용하면 s가 0((n - k)의 0을 원소로 같는 0벡터)행렬이 됨
- 즉, 0이 아닌 s값을 얻게되면 오류가 생긴 것으로 간주
- 다음의 G행렬이 다음과 같이 주어지면,
  $$
  \mathbf{G}=\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
  $$
  그러면 H행렬이 아래와 같이 유도 됨
  $$
  \mathbf{H}=\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
  1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
  $$
- 만약 m=[1 0 1 1]이 주어지면, c = mG = [1 0 1 1 0 0 1]이 만들어 짐
- 오류가 없다면 x = c이며, s = cHT = [0 0 0]이 됨
- 여기서 전송된 c에 대하여 오류가 발생하여 아래와 같이 수신됬다 가정한다
  $$
  \mathbf{x}=\mathbf{c}\oplus\mathbf{e}\\
  =\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix} \oplus
  \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
  \end{bmatrix}\\
  = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
  $$
- 그러면 아래와 같은 Syndrome이 산출 됨
  $$
  \mathbf{s}=\mathbf{x}\oplus\mathbf{H}^T\\
  = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 1\\
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  \end{bmatrix}\\
  = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1
  \end{bmatrix} = (\mathbf{eH}^T)
  $$
- 이 Syndrome은 오류의 위치를 지시하고 있으며, 오류가 정정된 부호는 [1 0 1 1 0 0 1]이 됨

문제

아래의 행렬은 어떤 (6, 3) 선형 블록 부호화를 위한 생성 행렬을 나타낸 것이다.

$$
\mathbf{G}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}
$$

상응하는 parity check 행렬 H를 구하시오
- Parity 행렬 P는 아래와 같이 구할 수 있음이 결과로부터 나온 parity check 행령 H는 아래와 같이 구해짐
  $$
  \mathbf{H}=\begin{bmatrix}\mathbf{H}^T \mathbf{I}_{n-k}\end{bmatrix}=$$
- \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
  \end{bmatrix}
- $$
  \mathbf{P}=\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  \end{bmatrix}\\
  \mbox{따라서 parity 행렬의 전치 행렬은 아래와 같음}\\
  \mathbf{P}^T=\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 0\\
  \end{bmatrix}
  $$
메시지 벡터가 m=[1 0 1]때 code 벡터를 구하시오
- m=[1 0 1]에 대하여 c = mG를 적용하여 code 벡터 c를 아래와 같이 구할 수 있음
  $$
  \mathbf{c} = \mathbf{mG}\\
  = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\end{bmatrix}
  \mathbf{G}=\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\
  0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
  \end{bmatrix}\\
  = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
  $$

04-01. Channel Coding and Error Control

김야키 — Wed, 14 Jul 2021 17:21:13 +0900

4.1 소개

셀룰러 무선 통신 시스템에서 메시지는 BS와 MS 사이의 잡음이 섞인 매체를 통하여 전달되며 반사, 회절, 산란 등의 현상이 신호의 품질을 떨어뜨림
- 따라서 무선 신호의 정확한 수신율을 개선할 수 있다면 어떠한 기술이라도 중요 함
채널 부호화는 기지국 측에서 원래의 메시지에 이 메시지와 미리 정해진 논리적 연관성을 가진 부가 정보를 추가
전송이 되면 수신기는 채널 중에서 열화(코딩)된 부호화 신호를 수신
수신기는 본래의 정보와 부가 정보 간의 논리적인 상호관계를 활용하여 열화(코딩)된 신호를 복원하여 원래의 메시지를 찾아낼 가능성을 높임
- 부가 정보를 추가하는 것은 전송 과정에서 보다 많은 주파수 대역을 사용하게 됨을 의미
- 그러나 이를 통하여 비트 오류율(BER)을 크게 줄이는 효과를 얻을 수 있음
**채널 부호화는 신호의 전송 전력과 부가 정보의 양으로 가능할 수 있는 신호의 대역폭을 활용하여 비트오류의 발생을 줄이는 효과를 만듬**
- 그러나, 셀룰러 시스템에서는 대부분의 트래픽이 압축된 데이터이며, 이는 전송 오류에 매우 민감함
  - 압축된 데이터: 디지털 형식으로 표현된 음향 및 영상 데이터
따라서 채널 부호화는 이산 디지털 정보를 신뢰성과 보안성에 초점을 두어 전송에 보다 적합하도록 만드는 과정
- 채널 부호화는 비트오류율(BER) 또는 프레임 오류율(FER)로 표현되는 전송 품질의 적합성을 보장하는 기술
코딩(부호화)의 종류
- 선형 블록 코딩
  - 해밍 코딩
  - BCH 코딩
  - 리드 솔로몬 코딩
- Convolution 코딩
- 터보 코딩

03-01. Mobile Radio Propagation

김야키 — Mon, 12 Jul 2021 20:29:53 +0900

3.1 소개

전파 전파(이하 Radio propagation)

번역이 조금 어색함

무선 이동 통신 채널은 하나의 무선 단말과 다른 하나의 무선 단말 사이에 시간적으로 변화하는 통신 경로로 모형화 한 것이다.

첫 번째 단말: 기지국에 있는 고정안테나
두 번째 단말: 이동국이나 이동 중인 가입자

위의 상황은 빠른 페이딩(Fast fading)을 유발하는 Multi path Radio propagation 유발한다.

이동 무선 전파

전 방향성 안테나
반송파 주파수의 선정
Fast fading 환경에서의 전송 방식의 선택
등등 새로운 도전(?)이 필요

Multi path channel 환경에서의 radio propagation

안테나의 높이
빌딩들의 배치
나무, 도로, 주변 지형 등에 좌우 됨

해당 Chapter에서는 적절한 통계적 기법을 이용하여 Mobile Radio Propagation 환경을 설명 하고자 한다.

3.2 무선 파동의 유형

구분 명칭	약어	주파수 대역	특징
초저주파	ELF (Extremely Low Frequency)	< 300 Hz	지상파
음성대역	ILF (Infra Low Frequency)	300 Hz ~ 3 kHz	지상파
초장파	VLF (Very Low Frequency)	3 kHz ~ 30 kHz	지상파
장파	LF (Low Frequency)	30 kHz ~ 300 kHz	지상파
중파	MF (Medium Frequency)	300 kHz ~ 3 MHz	지상파/공중파
단파	HF (High Frequency)	3 MHz ~ 30 MHz	공중파
초단파	VHF (Very High Frequency)	30 MHz ~ 300 MHz	우주파
극초단파	UHF (Ultra High Frequency)	300 MHz ~ 3 GHz	우주파
센티미터파	SHF (Super High Frequency)	3 GHz ~ 30 GHz	우주파
밀리미터파	EHF (Extra High Frequency)	30 GHz ~ 300 GHz	우주파
극고주파	THF (Tremendously High Frequency)	300 GHz ~ 3000 GHz	우주파

3.3 Radio propagation의 원리

반사: Propagation되는 파동이 그 파동의 파장보다 큰 장애물에 부딪힐 경우 반사 됨
- 지구의 표면 큰 빌딩, 큰 벽면 등
회절: 송신국과 수신기 간의 무선 경로가 날카롭고 불규칙적인 모서리를 만날 때 발생하는 현상
- 직접 경로가 없는 상황에서도 파동은 장애물을 돌아서 굽어짐
산란: 장애물이 파동의 파장보다 작은 경우에는 입사되는 파동이 여러 갈래의 미약한 신호들로 반사되는 현상
- 나뭇잎이나 도로 표지판, 가로등 등등

Multipath의 결과

3.4 자유 공간에서의 Radio propagation

자유 공간
- 공기라는 매질이 있는 공간
- 장애물이 없는 상황
전력 신호 $P_t[W]$를 전송하는 등방향성 점원에서 방사된 전력은 이 점원으로부터 임의의 거리, d만큼 떨어진 지점에서 보면 일정 반경을 가진 구의 표면에 균등하게 분포 됨
해당 식을 아래와 같이 표현할 수 있음
$$
P_r=\frac{A_e\cdot G_t\cdot P_t}{4\pi d^2}
$$
- A_e: 전송 안테나의 유효 면정
- G_t: 전송 안테나의 이득
수신 안테나의 유효 개구면과 이득 사이의 관계는 다음과 같이 얻어 짐
$$
G_r=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}
$$
G_r을 P_r식에 대입
$$
P_r=\frac{G_rG_tP_t}{\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2}
$$
자유공간 손실 L_f는 다음과 같음
$$
L_f=\frac{P_t}{P_r}\
= \frac{1}{G_rG_t}\cdot \left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2
$$
여기서 자유공간은 G_t = G_r = 1인 상황으로 아래와 같이 표현 됨
$$
L_f = \left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2 = \left(\frac{4\pi f_cd}{c}\right)^2
$$
자유공간 손실을 dB로 표현하면 아래와 같음
$$
L_f(dB) = 32.45 + 20\cdot log_{10}{f_c(MHz)} + 20\cdot log_{10}{d(km)}
$$

3.5 지상 Radio propagation

지상 mobile wireless 채널은 기지국과 단말기 간의 통신으로 특징지어짐
이 채널은 fading현상이 있는 multipath radio propagation 환경을 이룸
신호는 전파 경로상에 존재하는 여러 가지 장애물들로 인한 회절과 반사로 인하여, 많은 서로 다른 경로를 통하여 목적지에 다다르게 된다는 의미
수신 신호의 전력 P_t는 다음과 같이 표현
$$
P_r = \frac{G_tG_rP_t}{L}
$$
위 식에서 L은 채널에서의 radio propagation 손실을 나타냄
Radio는 세 가지 요소에 의하여 특정지어짐
- Path loss
- Slow fading
- Fast fading
$$
L = L_PL_SL_F\
L_P:\mbox{Path loss}\
L_S:\mbox{Slow fading}\
L_F:\mbox{Fast fading}
$$

3.6 Path loss (경로 손실)

지상 radio propagation에서의 경로 손실은 다음과 같음
$$
L_P = Ad^\alpha
$$
- A 및 α: radio propagation 상수
  - 통상, α는 대표적인 도심에서 3~4정도의 값을 가짐
- d: 기지국과 단말기 사이의 거리

1. 도시환경

$$
L_{PU}(dB)=69.55+26.16log_{10}{f_c(MHz)}-13.82log_{10}{h_b(m)}-\alpha[h_m(m)]+[44.9-6.55log_{10}{h_b(m)}]\cdot log_{10}{d(km)}\\
\mbox{식}
\begin{cases}
L_{PU}(dB)=&-10log_{10}{L_{PU}}\\
f_c,&\mbox{반송파 주파수 (150~1500 HMz)}\\
h_d,&\mbox{기지국의 유효 안테나 높이 (1~10 m)}\\
d,&\mbox{거리 (1m ~ 20km)}\\
\alpha(h_m),&\mbox{단말기의 안테나 높이를 조정하는 인자}
\end{cases}
$$

α(hm)은 상황에 따라 다름
a. 큰 도시
$$
\alpha[h_m(m)]=[1.1log_{10}{f_c(MHz)-0.7}]h_m(m)-[1.56log_{10}{f_c(MHz)}-0.8]
$$
b. 중소 도시
$$
\alpha[h_m(m)]=
\begin{cases}
8.29[log_{10}{1.54h_m(m)}]^2-1.1, &f_\psi < \mbox{300 MHz}\\
3.2[log_{10}{11.75h_m(m)}]^2-4.97, &f_\psi > \mbox{300 MHz}
\end{cases}
$$

2. 도시 근교

$$
L_{PS}(dB)=L_{PU}(dB)-2\left[log_{10}\cdot\frac{f_c(MHz)}{28}\right]^2-5.4
$$

3. 환히 트인 지역

$$
L_{PO}(dB)=L_{PU}(dB)-4.78[log_{10}{f_c(MHz)}]^2-18.33log_{10{f_c(MHz)}}-40.94
$$

3.7 Slow fading

Slow fading 환경에서는 거리가 d인 지역에서의 지역 평균값 r_m(d)는 다음과 같이 정의
$$
r_m(d)=\frac{1}{2d_w}\int^{d+d_w}_{d-d_w}r(x){dx}
$$
이 식에서 r(x)는 위치 x에서의 수신 신호이며, dW는 윈도우의 크기를 의미
r(x)는 slow fading과 fast fadint의 곱으로 표현이 가능
$$
r(x)=r_s(x)r_f(x)
$$
새롭게 표현된 r(x)를 r_m의 식에 대입하면 다음의 관계를 얻을 수 있음
$$
r_m(d)=\frac{1}{2d_w}\int^{d+d_w}_{d-d_w}{r_s(x)r_f(x)}{dx}
$$
이 식에서 x = d일 경우, r_s(d)는 해당 지역의 실제 수신 신호의 평균 세기인 것으로 정함
$$
r_m(d)=r_s(d)
$$
따라서 통계적 수치에 근거하여 윈도우의 크기 dw는 다음의 조건을 만족해야 함
$$
\frac{1}{2d_w}\int^{d+d_w}_{d-d_w}{r_f(x)}{dx} \rightarrow 1
$$
위의 r_s=r_f는 단말의 위치에 대한 함수임을 알 수 있음
거리는 속도와시간의 함수이므로(즉, x=v_t), r_s=r_f는 다음과 같이 표현
$$
r(t)=r_s(t)r_f(t)
$$
Slow fading은 대부분 대수 정규분포를 가짐
이 경우, 수신 신호 크기의 확률 밀도 함수는 dB단위로 표현할 때는 아래와 같음
$$
p(M)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(M- \bar{M})}{2\sigma^2}}
$$
M은 실제 수신 신호의 크기 m을 dB 단위로 표현한 것
\sigma는 dB 단위의 표준편차를 의미
$$
p(m)=\frac{1}{\sqrt{\pi m}\sigma_0}e^{-\frac{log_10{\frac{m}{\bar{m}}}}{2\sigma_0^2}}
$$

3.8 Fast fading

02-03. 확률, 통계 및 트래픽 이론

김야키 — Wed, 7 Jul 2021 21:47:56 +0900

2.2 기본적인 확률 및 통계 이론

2.2.5 몇 가지 중요한 분포함수 (이산 랜덤 변수)

일반적인 사건의 발생이 어떠한 서로 다른 분포들로 표현될 수 있는지 알아본다.
확률 함수로부터 나온 확률들의 패턴

이산 랜덤 변수

질량 함수 → 이산형 확률분포(Discrete probability distribution)

분포 종류

베르누이 분포, Bernoulli distribution
바이노미얼 분포, Binomial distribution
푸아송 분포, Poisson distribution
지오메트릭 분포, Geometric distribution
Negative Binomial distribution
Hypergeometric distribution

Bernoulli Distribution (베르누이 분포)

확률 변수 X가 두 가지 값만 가지는 단순한 확률
- 1 = "success" or 0 = "failure"

$$
\mbox{Define } p= P[success] = P[X=1] \\
p=\begin{cases}
0, & \rightarrow 1-p \\
1, & \rightarrow p
\end{cases}
$$

0과 1을 확률로 바꾸는 확률 함수가 필요하며, 아래 확률 함수를 따르는 확률 분포를 베르누이 분포라 한다.

$$
f_X(x;p) = p^x\cdot (1-p)^{1-x}, \quad x=\mbox{0 or 1}
$$

즉, 베르누이 분포는 위의 베르누이 확률 함수로부터 생성되는 확률들의 패턴을 그린 것

베르누이 확률 분포의 기대값과 분산

기대값 E[X] = p

$$
\mbox{기대값의 정의: }\quad E[X]=\sum x\cdot p^x \cdot (1-p)^{1-x} \\
\mbox{베르누이 확률 분포의 기대값: }\quad E[X] = \sum_{x=\mbox{0 or 1}}x\cdot p^x \cdot (1-p)^{1-x} = 0 + p = p
$$

분산 V[X] = p(1-p)

$$
V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2 \\
E[X^2] = \sum_{x=\mbox{0 or 1}}x^2\cdot p^x \cdot (1-p)^{1-x} = 0+p = p \\
\therefore p-p^2 = p(1-p)
$$

예) 1
동전을 던져서 앞 또는 뒤가 나올 경우와 같은 상황에서 사용
동전을 던져서 앞은 1, 뒤는 0이라 설정, 그 상황에서 나오는 확률은 1/2로 정의

Binomial Distribution (이항 분포)

베르누이 분포로 부터 나온 분포
- 베르누이를 한 번만 던지면 베르누이 시행(Bernoulli trial)이라 부름
- 그런 베르누이 시행을 독립적으로 n번 시도한 것
  - 첫 번째 시행이 다음 시행에 영향을 주는 종속적인 관계가 아닌 것
이 때의 확률 변수 X를 정의한다.
- X는 n번 시행해서 나오는 총 성공의 횟수
- 여기서 X는 X={0, 1, 2, ... , n}으로 구성되며, 성공의 최대 횟수는 n번 모두 성공했을 때 즉, n이 된다.
- 해당 실수 값들을 확률로 변경 해야 하며, 그 확률 함수는 아래와 같음
  $$
  p(x)= \begin{pmatrix} n \\ x\end{pmatrix}p^x \cdot (1-p)^{n-x} \qquad \mbox{for }x=0, 1, \dots, n \\
  \begin{pmatrix} n \\ x\end{pmatrix}\mbox{: n 번 중에 성공한 x의 횟수 즉, n번 중에서 x개를 선택한 것} \\
  p^x\mbox{: 성공한 횟수} \\
  (1-p)^{n-x}\mbox{: 실패한 횟수}
  $$
  - Parameter n and p: 위의 확률 함수로부터 나온 확률 분포의 모양을 결정하는데 영향을 주는 변수(or 모수)들
  - Parameter에 의한 그래프 모양의 예)
  베르누이 분포
  - 위의 x들을 확률 함수에 넣으면 0~1 사이의 값으로 생성
  - 이 함수의 분포는 이산형 확률 함수가 됨
이항 확률 함수의 모든 합이 1이 되는가?
$$
\sum^n_{x=0}p(x)= \sum^n_{x=0}{\begin{pmatrix}n \\x\end{pmatrix}}p^x(1-p)^{n-x}= 1 \\
\mbox{Why?} \\
\mbox{Binomial Theorem에 의한 결과: }(x+y)^n = \sum^n_{i=0} {\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}}x^i \cdot y^{n-i} \\
\mbox{위의 식에서는 }x\mbox{가 }p\mbox{이고, }y\mbox{가 }1-p\mbox{로 표현 된 것} \\
\therefore (p+1-p)^n = 1^n = 1
$$
확률 변수가 주어지고 parameter가 주어질 때의 기대값과 분산
- 기대값 E[X]
  $$
      P\{X=k\}/P\{X=k-1\}\mbox{에서 비율을 계산 한 뒤에 어떤 k가 1보다 작거나 큰 값을 찾아 냄}\\
      \frac{P\{X=k\}}{P\{X=k-1\}}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}}{\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}p^{k-1}(1-k)^{n-k+1}}\\
      =\frac{(n-k+1)p}{k(1-p)} > 1\\
      \because P\{X=k\}\geq P\{X=k-1\}\\
      \therefore (n-k+1)p \geq k(1-p)
      $$
- 분산 V[X]
  $$
  E[X^2]=np[(n-1)\cdot p+1] \\
  V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2 \\
  \therefore V[X] = np(1-p)
  $$
예) 10 = 정상, 1 = 불량10개의 부품 중 2개가 불량일 확률은?
확률변수 정의
$$
X\mbox{: 불량품의 갯수} \\
X={0, 1, 2,...,10} \\
P[X=2] = {\begin{pmatrix}10 \\2\end{pmatrix}}(0.1)^2(0.9)^{10-2}=0.1937
$$
기대값 E[X]과 분산 V[X]
$$
E[X] = (10)\cdot (0.1) = 1\mbox{, 평균적으로 1개의 불량이 나옴} \\
V[X] = (10)\cdot (0.1) \cdot (0.9) = 0.9
$$
n = 10개의 부품, p=P[불량품]=0.1
불량의 갯수 파악
예) 2
불량률이 6%인 공정에서 매주 랜덤하게 50개를 뽑음
1. 확률 변수 X는?
$$
X = {0, 1, 2, 3, ... , 50}
$$
1. 그 중에서 불량이 3개 일 때의 확률은?
$$
X\mbox{~ Bino}(50, 0.06) \\
P(X=3)={\begin{pmatrix}50 \\3\end{pmatrix}}\cdot 0.06^3 \cdot (1-0.06)^{50-3}
$$
1. P(X>3)일 확률은?
$$
1-P(X\leq3)\mbox{을 이용} \\
1-{P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)} \\
= 1-\sum^3_{i=0}{\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}}0.06^i(1-0.06)^{50-i}
$$
Binomial Distribution Proposition
- 이산 확률 변수 X와 parameter n과 p가 있다.
- 여기서 p는 0 < p < 1을 만족한다.
- X가 가질 수 있는 값이 k라 할 때, k는 0 ~ n까지 가진다.
- P{X=k}의 값이 증가했다 감소를 하게 되는 분포 그래프가 생긴다.
- 이 때, 가장 꼭대기(가장 큰)값이 (n+1)p로 정의 된다.
- 증명
      $$
      P\{X=k\}/P\{X=k-1\}\mbox{에서 비율을 계산 한 뒤에 어떤 k가 1보다 작거나 큰 값을 찾아 냄}\\
      \frac{P\{X=k\}}{P\{X=k-1\}}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}}{\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}p^{k-1}(1-k)^{n-k+1}}\\
      =\frac{(n-k+1)p}{k(1-p)} > 1\\
      \because P\{X=k\}\geq P\{X=k-1\}\\
      \therefore (n-k+1)p \geq k(1-p)
      $$

Poisson distribution (푸아송 분포)

확률 변수 X={0, 1, 2, ...}와 같이 이산형 실수 값을 가지게 되며 아래의 확률 함수로부터 생성된 확률들의 패턴을 나타냄
Parameter로 λ를 사용하게 되며 이 값은 0보다 큼
- 단위 시간(or 공간) 안에 특정 사건이 몇 번 발생할 것 인지를 표현한 확률 분포

$$
P\{X=i\}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}, \quad \mbox{for }\quad i=\{0, 1, 2,\dots\}, \quad \lambda>0
$$

푸아송 분포의 성질

$$
\mbox{모든 확률의 합} \\
\sum^\infty_{i=0}P(X=i)\quad = e^{-\lambda}\sum^\infty_{i=0}\frac{\lambda^i}{i!}=e^{-\lambda}\cdot e^\lambda = 1 \\
\because \sum^\infty_{i=0}\frac{\lambda^i}{i!} \mbox{의 값은 테일러 급수에 의해서 }e^\lambda \mbox{로 만들어 짐}
$$

Parameter λ에 따른 푸아송 분포의 그래프

푸아송 분포

푸아송 분포와 Binomial 분포의 관계
- p(i; n, p) ≈ p(i; λ)
- 좌측: Binomial 분포, 우측: 푸아송 분포
- n이 무한대로 커지고, p가 작아질 때, λ = np 와 같아 지게 됨
  $$
  P\{X=i\} = \frac{n!}{(n-i)!\cdot i!}p^i\cdot (1-p)^{n-i} \thickapprox e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}
  $$
- 증명
  $$
  p = \frac{\lambda}{n} \mbox{를 이용} \\
  = \frac{n!}{(n-i)! \cdot i!}\Big(\frac{\lambda}{n}\Big)^i \cdot (1- \frac{\lambda}{n})^{n-i} \\
  = \frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\cdot\frac{\lambda^i}{i!}\cdot \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^i} \\
  $$
  - 잠시 정리
          $$
          \mbox{앞의 }\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\cdot\frac{\lambda^i}{i!}\mbox{를 1번}\mbox{ 뒤의 분모 }(1-\frac{\lambda}{n})^i \mbox{를 2번, 분자 } (1-\frac{\lambda}{n})^n\mbox{를 3번으로 지칭} \\\\
          \mbox{1. }\lim_{n\to\infty} = 1 \\\\
          \mbox{2. }\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^i = 1 \\\\
          \mbox{3. }\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n = \lim_{n\to\infty}\Big\{(1-\frac{\lambda}{n})^{\frac{n}{\lambda}}\Big\}^\lambda = (e^{-1})^\lambda = e^{-\lambda} \\\\
          $$
- 증명 이어서
  $$
  = 1 \cdot \frac{\lambda^i}{i!}\frac{e^{-\lambda}}{1}=\frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^i}{i!} = \mbox{푸아송 분포}
  $$
예제
- 어떤 집단에서 사람 수 n중에 100세 이상인 사람의 수
- 책의 모든 페이지에서 오타의 갯수
- 매일 전화를 걸 때, 잘못 걸을 횟수
푸아송 확률 변수의 기대값과 분산
- 결과적으로 기대값과 분산은 parameter λ와 같음
- 기대값
$$
E[X] = \sum^\infty_{i=0}i\cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!} \\
= \lambda \sum^\infty_{i=1}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{i-1}}{(i-1)!}\quad\mbox{, Let} k=i-1 \\
= \lambda \sum^\infty_{k=0}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \\
= \lambda e^{-\lambda}\sum^\infty_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!} \\
= \lambda e^{-\lambda} e^\lambda = \lambda
$$
- 분산
  $$
  E[X^2]=\lambda(\lambda+1)\\
  V[X]=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\
  V[X]=\lambda^2+\lambda-\lambda^2 = \lambda
  $$

Geometric Distribution (기하 분포)

베르누이 시행에서부터 시작
확률 변수 X: 첫 번째 성공이 일어나기 까지 필요한 시행 횟수
- p = P[success]를 기반으로 아래 기하 확률 함수를 따름
  $$
  P\{X=n\}=(1-p)^{n-1}p \quad \mbox{, for }n=1, 2, \dots
  $$
- 예)
- 5번 시행에서 첫 번째 성공일 때를 가정
  1. Fail → (1-p)
  2. Fail → (1-p)
  3. Fail → (1-p)
  4. Fail → (1-p)
  5. Success → p
모든 확률의 합
- 첫 번째는 먼저 시행을 해야 함 즉, 시행 횟수는 1 부터 시작 됨
$$
\sum^\infty_{n=1}P\{X=n\} = p\cdot \sum^\infty_{n=1}(1-p)^{n-1}=\frac{p}{1-(1-p)} = 1
$$
X가 기하 확률 함수를 따르게 되며 기하 확률 분포는 parameter p를 가짐
기대값 E[X] = 1/p
$$
P(X=i)=\sum^\infty_{i=1} i\cdot(1-p)^{i-1}\cdot p \\
=p \sum^\infty_{i=1}i\cdot(1-p)^{i-1} \quad\mbox{, Let } 1-p = k \quad\mbox{ &}\quad p=1-k \\
=p \sum^\infty_{i=1}i\cdot k^{i-1} \\
=p \sum^\infty_{i=1}\frac{d}{dk}k^i \\
=p \cdot\frac{d}{dk}\cdot\sum^\infty_{i=1}k^i \\
=p \cdot\frac{d}{dk}\cdot\Big(\frac{k}{1-k}\Big) \\
=p \cdot\frac{1-k+k}{(1-k)^2} \\
=p \cdot\frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
$$
팁) i 곱하기 k의 i-1제곱은 k에 대하여 미분한 것
$$
i \cdot k^{i-1} = \frac{d}{dk}k^i
$$
분산 $$V[X] = (1-p)p^2$$
$$
E[X^2] = \frac{2-p}{p^2} \\
V[X] = \frac{2-p}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}
$$
예)
항아리에 N개의 흰색 공과 M개의 검은색 공이 있다.
- 다음 공이 뽑힐 때는 뽑았던 공은 다시 넣는다. (복원 추출 or 독립 시행)
(a) 검은색 공이 첫 번째 뽑힐 때 까지 필요한 횟수가 n번일 확률은?
- 확률 변수 X: 검은색 공이 첫 번째 뽑힐 때 까지 필요한 시행 횟수(공 뽑기)
  $$
  P(W) = \frac{N}{N+M} \quad\mbox{, } P(B) = \frac{M}{N+M}
  $$
- n-1번째 까지는 흰색 공이 나와야 함
  $$
  P\{X=n\}=\Big(\frac{N}{N+M}\Big)^{n-1}\cdot\frac{M}{N+M} \\
  = \frac{M\cdot N^{n-1}}{(N+M)^n}
  $$
(b) 검은색 공이 뽑힐 때 까지 적어도 k번이 필요할 확률은?
- 확률 변수 X가 k를 포함한 횟수 이상을 시행
$$
P\{X \geq k\} = \frac{M}{N+M} \cdot \sum^\infty_{n=k}\Big(\frac{N}{N+M}\Big)^{n-1} \\
= \Big(\frac{M}{N+M})\cdot\Big(\frac{N}{N+M}\Big)^{k-1} \Big/\Big[1-\frac{N}{N+M}\Big] \\
= \Big(\frac{N}{N+M}\Big)^{k-1}
$$
공을 랜덤하게 선택하는데, 검은색 공이 뽑힐 때 까지 시행한다.

02-02. 확률, 통계 및 트래픽 이론

김야키 — Wed, 7 Jul 2021 20:02:04 +0900

2.2 기본적인 확률 및 통계 이론

2.2.4 기대치, n차 모멘트, n차 중심 모멘트 및 분산

랜덤 변수의 기대치(Expected value)
- 변수의 평균 또는 중심 값
- 기대치는 그 변수의 분포를 요약하는 값
- 확률변수 X가 주어지고, pmf p(x)가 주어졌을 때의 기대값:
  $$
  E[X] = \sum_i{x_if_X(x_i)}
  $$
  - 참고)산술 평균: 모든 값이 동일하게 나온다는 가정을 가진 평균, 특별한 기대 값
    - 특히, 가중치를 의미하는 확률 fX(xi)가 모두 같을 필요가 없다. 하지만 확률 fX(xi)가 모두 같은 경우를 산술 평균이라 한다.
- 기대값 E[X]란 가중 평균을 의미
  - 예) 1
  - 게임을 할 때 승리할 확률이 0.99, 승리시 $100을 받는다.
    - 해당 상황에서의 확률변수 X는 이 게임으로부터 얻을 수 있는 돈의 액수로 설정
    - 해당 게임에서 돈을 얼마나 얻을 수 있는지를 기대하는 기대값 E[X]를 구하면 다음과 같다.
    $$
    E[X] = (100 * 0.99)-(100000*0.01) \\
    = 99 - 1000 = -901
    $$
  - 이 게임은 평균적으로 $901를 잃게 되는 게임이 된다.
  - 하지만, 패배시 $100,000을 잃게된다.
  - 예) 2
  - 동전 2개를 던지는 게임이 있다.
    - 이 때, 앞면이 나올 기대값은?
    $$
    E[X] = (0)(1/4)+(1)(1/2)+(2)(1/4) = 1
    $$
  - 평균적으로 앞면이 나올 개수는 1이 된다.
  - 확률 변수 X는 동전의 앞면이 나오는 개수다.
    $$
    X = {0,1,2} \\
    p(0) = \frac{1}{4},\quad p(1)=\frac{2}{4},\quad p(2)=\frac{1}{4} \\
    $$
- 정리)
  - 기대값을 가지려면 대상 즉, 확률 변수 X가 존재 해야 함
  - 확률 변수는 여러개의 실수 값을 가지게 되며, 그 여러개의 실수 값 각각의 확률값을 안다면 가중 평균을 취했을 때 기대값이 됨
  - 예) 3
  - 두 개의 동전을 독립적으로 던진다.
    - 그렇게 되면 뒷면이 나올 확률은 1-p가 된다.
    확률변수 X는 앞면이 나오는 개수로 정한다.
  - 기대값 E[X]를 구하는 방법은?
    $$
    P(X)=\begin{cases}
    \mbox{뒷면만 나올 확률}, & P(X=0) = P(t,t) = (1-p)^2 \\
    \mbox{앞면이 한 번 나올 확률}, & P(X=1)=P(h,t)+P(t,h) = p(1-p)+(1-p)p = 2p(1-p), \\
    \mbox{앞면만 나올 확률}, & P(X=2)=P(h,h)=p^2
    \end{cases} \\
    \therefore E[X]=0\cdot(1-p)^2+1\cdot2p(1-p)+2\cdot p^2=2p
    $$
  - 앞면이 나올 확률을 p라고 가정한다.
  - 랜덤 변수 함수의 기대값
  - 이산형 확률 변수 X가 pmf p(x)로 주어지면 그 이산형 확률 변수에 대한 기대값은 어떻게 구하는가
  - 어떠한 확률 변수의 기대값이 아닌 이 확률 변수의 함수에 대한 기대값을 구하는 것
    $$
    E[g(X)]=\sum_i g(x_i)p(x_i)
    $$
  - 예) 4
  - 두 개의 동전을 던진다.
  - 앞면이 나온 개수를 확률변수 X로 정의
    $$
    p(0)=1/4 \\
    p(1)=1/2 \\
    p(2)=1/4
    $$
    g(x)에 대한 정의가 다음과 같다.
    $$
    g(x)=\frac{3}{X+1}
    $$
    X의 함수의 기대값은 다음과 같다.
    $$
    \sum^2_{i=0}\frac{3}{i+1}\cdot P(X=i) \\
    E\Big[\frac{3}{X+1}\Big] = \left(\frac{3}{0+1}\right)\left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{3}{1+1}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{2+1}\right)\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{7}{4}
    $$
기대값의 성질
- c가 상수값으로 주어졌을 때의 E[c]=?
  $$
  E[c] = \sum c\cdot p(x)=c\cdot \sum p(x) = c\cdot \mbox{확률의 총 합은 }1 = c \\
  \mbox{ex) }E[100] = 100
  $$
- E[cX]의 값은?
  $$
  E[cX] = \sum cx \cdot p(x) = c\cdot \sum x\cdot p(x) = c\cdot E[X]
  $$
- E[cX + d]
  $$
  E[cX+d] = \sum (cx+d)\cdot p(x)= \sum cx\cdot p(x) + d\sum p(x) \\
  = c\sum X\cdot p(x) + d \\
  = cE[X] + d
  $$
랜덤 변수의 분산
- 그 랜덤 변수의 실제 값이 어느 정도 퍼져 있는 정도를 표현하는 음수가 아닌 실수
- 분산이 크면 관측값이 평균적으로 더 많이 퍼졌다는 뜻
- Cell 내의 서로 다른 지역에 있는 가입자들의 호 발생 유형이 어떠한 가를 표현할 때 유용함
- 해당 값을 알면 그 Cell에서의 동시 통화수를 예측하는데 이용 됨
- 또, 새로운 호는 서로 다른 시간에 발생하고, 따라서 호 발생은 연속 랜덤 변수가 아닌 이산 랜덤 변수로 표현
호 지속 시간(가입자의 통화 시간)은 가변적
- 어느 한 채널이 통화 중인 시간의 비율은 호 발생률과 호 지속 시간의 가중치에 좌우 됨
인접 채널들 간의 간섭
- 각 채널이 얼마나 긴 시간 동안 사용되었는가 에 좌우 됨
트래픽의 특성을 표현하기 위해서는 해당 모멘트 함수(Moment Function)들을 모두 계산해야 함
- 변수들을 정량화함으로써 시스템 성능에 대한 영향을 이해할 수 있게 됨

Moment (모멘트)

기대값의 형태가 X의 n제곱의 형태가 되는 것 (적률)

$$
E[X^n]=\sum_x x^n p(x)
$$

식 (2.9)와 동일한 형태
예) 1
$$
E[X] \mbox{ 1차 적률} \\
E[X^2] \mbox{ 2차 적률} \\
...
$$
확률 변수 X가 주어지고, 각각의 확률을 더한 뒤의 기대값을 구하는 것은 각각의 기대값을 모두 더한것과 동일

$$
E[X_1+X_2+X_3 +\cdots+X_n] = E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+\cdots+E[X_n]
$$

예) 2
n개의 주사위를 굴렸을 때, 얻을 수 있는 결과들의 합에 대한 기대값을 구하라
X를 합이라는 확률변수로 정할 때,
$$
X = \sum_{i=1}^n X_i \mbox{ 로 정의할 수 있음}
$$
X_i = i번째 주사위를 던졌을 때 나온 숫자
$$
E[X] = E\bigg[\sum_{i=1}^n X_i\bigg] = \sum_{i=1}^n E[X_i] \mbox{ 를 이용해야 함} \\
$$
주사위의 각 눈이 나올 확률은 모두 (1/6)로 동일
$$
E[X_i] = \sum_{i=1}^6 i\cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5
$$
이제 위의 각 확률 변수의 기대값의 합을 구하는 식을 적용할 수 있음
$$
E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+\cdots+E[X_n] = 3.5n
$$

분산 (Variance)

기대값을 구했을 때, 각 확률 변수가 얼마나 기대값에서 떨어져 있는지를 수치로 보여주는 척도
예) 1
1, 2, 3, 4, 5의 분산을 구하라
- 분산을 구하기 위해서는 기대값을 구해야 함
- 각 변수에서 기대값과의 차이를 구하
  - -2, -1, 0, 1, 2
- -를 없애기 위해서 제곱을 취함
  - 4, 1, 0, 1, 4
- 이들의 기대값을 취하면 분산이 됨
분산의 정리
- 기대값이 있어야 함(평균)
- 이 기대값을 기점으로 얼마만큼 떨어져 있는지를 제곱의 스케일로 표현한 측도
- 제곱이 되었기 때문에 분산은 음수가 될 수 없음
분산을 기대값으로 표현
$$
V(X)=E[{X-E(X)}^2] \\
= E[X^2 - 2XE(X) + {E(X)}^2] \\
= E(X^2) - 2{E(X)}^2-{E(X)}^2 \\
= E(X^2) - {E(X)}^2 \\
$$
- 참고)
  $$
  -2XE(X) = 2E(X) \cdot E{E(X)} \\
  = -2\cdot E(X) \cdot E(X) \\
  = -2{E(X)}^2
  $$
즉, 분산이란
- X의 제곱의 기대값에서 X의 기대값의 제곱을 뺀 것으로 표현할 수 있음
예) 2
$$
V(X) = E[{X-E(X)}^2] \\
= \sum{X-E(X)}^2 \cdot P(X) \\
= \sum{X^2-2XE(X)+E(X)^2} \cdot P(X) \\
...? \\
= E(X^2) - {E(X)}^2
$$
예) 3
동전 2개를 던짐, X를 앞면이 나올 개수로 정의
$$
V(X) = E(X^2)-{E(X)}^2 \\
= \sum X^2 \cdot P(X) \\
$$분산이 특정 함수형태로 주어졌을 때,
$$
V(-4X+3) = (-4)^2V(X) = (16)(1/2) = 8
$$
$$
E[X^2] = (0^2)(1/4)+(1^2)(1/2)+(2^2)(1/4) = 3/2 \\
V(X) = E[X^2] - {E[X]}^2 = 3/2 - 1^2 = 1/2
$$
확률변수 함수에 대한 분산

$$
V(g(X)) = E[(g(X) - \mu_{g(X)})^2]
$$

상수 c, d가 주어질 때의 분산 값
- V(c)
$$
V(c) = E[{c-E[c]}^2] = E[c-c] = 0 \\
\mbox{예) }V(2) = 0
$$
- V(cX)
$$
V(cX) = E[{cX-cE[X]}^2] = E[c^2{X-E[X]}^2] \\
=c^2E[{X-E(X)}^2] \\
=c^2 \cdot V(X)
$$
- V(cX+d)
$$
V(cX + d) = E[{(cX+d)-E[cX+d]}^2] \\
= E[{cX+d - cE[X]-d}^2] \\
= c^2E[{X-E[X]}^2] = c^2 \cdot V(X)
$$

표준 편차(Standard Deviation)

분산의 제곱근

$$
SD[X] = \sqrt{V[X]}
$$

이산 랜덤 변수

- 기대치 또는 평균값

$$
E[X] = \sum_{\mbox{all} k}{k^nP(X=k)}\qquad\qquad\cdots (2.9)
$$

이산 랜덤 변수 Χ로 정의된 함수 g(X)의 기대치는 X의 분포에 의거하여 g(X) 값으로 새로이 정의된 또 다른 변수 Y의 평균값이다.
이 값은 E[g(X)]로 표현하고, 식(2.10)과 같이 구할 수 있다.

$$
E[g(x)] = \sum_{\mbox{all} k}{g(k)P(X=k)}\qquad\qquad\cdots (2.10)
$$

- n차 모멘트

$$
E[X^n] = \sum_{\mbox{all} k}{k^nP(X=k)} \qquad\qquad\cdots (2.11)
$$

X의 1차 모멘트는 바로 X의 평균이 된다.

- n차 중심 모멘트

중앙 평균은 평균값을 중심으로 한 평균을 말하며, 아래와 같이 표현된다.

$$
E[(X-E[X])^n] = \sum_{\mbox{all} k}{(k-E[X])^nP(X=k)} \qquad\qquad\cdots (2.12)
$$

1차 중심 모멘트의 값은 0이다.

- 분산 또는 2차 중심 모멘트

$$
\sigma^2 = \mbox{Var}(X) = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 \qquad\qquad\cdots (2.13)
$$

이 식에서 σ는 표준편차라 부름

연속 랜덤 변수

- 기대치 또는 평균값

$$
E[X] = \int_{-\infty}^\infty {xf_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.14)
$$

연속 랜덤 변수 X로 정의된 함수 g(X)의 기대치는 X의 분포에 의거하여 g(X) 값으로 정의된 또 다른 변수 Y의 평균값이다.
이 값은 E[g(X)]로 표현하고, 아래 식과 같이 구할 수 있다.

$$
E[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty {g(x)f_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.15)
$$

- n차 모멘트

$$
E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty {x^nf_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.16)
$$

- n차 중심 모멘트

$$
E[(X-E[X])^n] = \int_{-\infty}^\infty {(x-E[X])^nf_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.17)
$$

- 분산 또는 2차 중심 모멘트

$$
\sigma^2 = \mbox{Var}(X) = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2\qquad\qquad\cdots (2.13)
$$

02-01. 확률, 통계 및 트래픽 이론

김야키 — Wed, 7 Jul 2021 19:56:29 +0900

2.1 개요

무선 및 이동 통신망의 성능에 영향을 주는 요인들

Cell 내에서 MS(Mobile Station)의 밀도가 얼마인지
MS의 이동 속도와 방향은 어떠한지
호는 얼마나 자주 발생하는지
얼마나 많은 MS가 호를 발생 시키는지
통화 시간은 얼마인지
BS(Base Station) 또는 다른 MS들 대비 MS들의 상대적인 위치는 어떻게 되는지
호(Cell) 내에서의 트래픽 종류(실시간 또는 비실시간)는 어떠한지
인접 Cell에서의 트래픽은 어떠한지 등

2.2 기본적인 확률 및 통계 이론

2.2.1 랜덤 변수

랜덤 변수(Random Variable) (= 확률 변수)
- 표본 공간(Sample Space)에 있는 원소들이 실수(Real Number)로 대응 시키는 함수
- 확률 함수(Probability Function): 원소를 실수 값으로 변환 시키는 함수
  - 이산 랜덤 함수
  - 연속 랜덤 함수
- 연속 랜덤 변수 → 확률 밀도 함수(PDF, Probability Density Function)
- 이산 랜덤 변수 → 확률 질량 함수(PMF, Probability Mass Function)
- 예제)
  - 동전 3 개를 던졌을 때 앞면이 나올 확률, 이 때의 random variable Y: Number of heads
    - Y = {0, 1, 2, 3}
      - Sample space = {(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)}
      - Y Outcomes
        
        0 TTT
        
        1 HTT, THT, TTH
        
        2 HHT, HTH, THH
        
        3 HHH
  - Reference: 고려대학교 김성범 교수님[핵심 확률/통계] 확률변수(Random Variables)

Y	Outcomes
0	TTT
1	HTT, THT, TTH
2	HHT, HTH, THH
3	HHH

이산 랜덤 변수
- Discrete Random Variable
- 유한의 셀 수 있는 값을 랜덤 변수로 표현한 것
- 이산 랜덤 변수 X에 대해 X의 pmf $$p(k)$$는 랜덤 변수 X의 값이 k가 될 확률이며, 다음과 같이 표현
  $$
  p(k) = P(X=k)\quad \mbox{for} \quad k=0,1,2,...\quad\quad\quad식(2.1)
  $$
- 아래 조건을 만족 해야 함
  $$
  1. 0 \leq p(k) \leq 1, 모든 k에 대해 \\
  2. \sum p(k) = 1, 모든 k에 대해 \\
  $$
  - 예제 1) 동전을 2개 던졌을 때 앞면이 나올 확률
    - Sample space (S) = {(HH), (HT), (TH), (TT)}
    - 확률 변수 X = 앞면의 개수
    - X = {0(앞면이 없음), 1(앞면이 1개), 2(앞면이 2개)}
    - 확률 함수는?
      - P(X = 0) = 1/4
      - P(X = 1) = 2/ 4
      - P(X = 2) = 1/4
  - 예제 2) 매년 공장에서 일어나는 낙상 사고가 얼마나 많이 일어나는가
    - 확률 변수 X = 사고가 일어난 개수
      - X = {0, 1, 2, ...}
    - 확률 함수는 P(X = k) = 1/2^(k+1) 로 주어짐.
      - P(X = k)는 확률 함수 인가?
        
        식 (2.1)의 조건 1을 만족 하는지 확인
        
        x = 0, P(0) = 1/2
        
        x = 1, P(1) = 1/2^2
        
        x = 2, P(2) = 1/2^3
        
        ... -> 조건 1 만족
        
        식 (2.1)의 조건 2를 만족하는지 확인
        
        무한 급수 더하기 = (1/2)/(1-1/2) = 1
        
        식 (2.1)의 조건 1, 2를 모두 만족 하므로 확률 함수가 맞음

연속 랜덤 변수
- Continuous Random Variable
- 확률 밀도 함수를 가짐
  - 예제 1) 골프를 칠 때 18홀을 도는데 걸리는 시간
  - 예제 2) 서울 주민들의 평균 연봉
- 연속 랜덤 변수 X에 대해, pdf $f_X(x)$는 전체 실수 값(-∞, ∞)를 독립 변수로 한 음수가 아닌 함수로 표현
$$
P(X\subset S) = \int_S f_X(x)\quad\mathrm{d}x \quad\quad\quad\quad 식(2.2)
$$
- x는 적분 변수로만 정의되며, 아래 조건을 만족해야 함
$$
1. f_X(x) \geq 0,\quad 모든 x에 대해\\
2. \int_{-\infty}^\infty f_X(x)dx =1
$$

2.2.2 누적 분포 함수

Cunmulative Distribution Function
P(k) 또는 F_X(x)로 표현 되며, k 또는 x의 모든 값에 대해 이는 랜덤 변수 X가 k또는 x보다 작거나 같은 확률을 정의

$$
P(k) = P(X \leq k), \mbox{모든},k\mbox{에 대해} \quad\quad\quad\quad\quad\quad \cdots (2.3)\\
\mbox{또는}\\
F_X(x) = P(X \leq x),\quad {-\infty} < x < \infty \quad\quad\quad\quad \cdots (2.4)
$$

이산 랜덤 변수의 경우 CDF는 다음과 같음

$$
P(k) = \sum_{all,k} P(X=k)\quad\quad\quad\quad \cdots (2.5)
$$

연속 랜덤 변수의 CDF는 다음과 같이 해당 pdf들의 적분으로 표현

$$
F_X(x) =\int_{-\infty}^x f_X(x),\mathrm{d}x \quad\quad\quad\quad \cdots (2.6)
$$

$$F_X(x) = P(X \leq x)$$ 이므로 다음과 같은 관계가 성립 함

$$
FX(a \leq x \leq b) = \int_a^b f_X(x)dx \\
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = F_X(b) - F_X(a) \\
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = P(a \leq X \leq b)\quad\quad\quad\quad \cdots (2.7)
$$

2.2.3 확률 밀도 함수

연속 랜덤 변수의 확률 밀도 함수를 일정 구간에 대해 적분할 경우, 해당 랜덤 변수가 특정 구간에서 값을 가질 확률을 표현
pdf f_X(x)는 CDF인 F_X(x)의 미분으로 나타냄
$$
f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx} \quad\quad\quad\quad \cdots (2.8)
$$

예제) 2.1

어떤 연속 랜덤 변수 X의 pdf가 아래와 같다.
$$
f_X(x)=\begin{cases}a\sqrt x, & 0 \leq x \leq 1\\0, & \mbox{그 외}\end{cases} \
$$
(1) 상수 α를 구하시오.

연속 랜덤 변수의 요건에 근거하여 아래와 같이 계산이 가능

$$
\int_{-\infty}^\infty f_X(x)dx = \int_0^1{\alpha \sqrt{x}} dx = \frac{2\alpha}{3}=1 \\
\therefore \alpha \mbox{는} \frac{3}{2} = 1.5 \mbox{와 같이 구해짐}
$$

(2) X의 CDF를 구하시오.

식 (2.6)으로부터 랜덤 변수 X의 CDF는 그 변수의 pdf의 적분으로 나타낸다.

$$
F_X(x) =\int_{-\infty}^x f_X(x) =
\begin{cases}
0, & \mbox{for}x < 0 \\
x^{\frac{3}{2}}, & \mbox{for} 0 \leq x \leq 1\\
1, & \mbox{for} 1 \leq x
\end{cases}
$$

(3) 확률 P(X > 0.25)을 구하시오.

CDF의 개념에 근거하여 아래와 같이 확률을 구할 수 있다.

$$
P(X > 0.25) = 1-F_X(0.25) =0.875
$$

2.2.4 기대치, n차 모멘트, n차 중심 모멘트 및 분산

랜덤 변수의 기대치(Expected value)
- 변수의 평균 또는 중심 값
- 기대치는 그 변수의 분포를 요약하는 값
랜덤 변수의 분산
- 그 랜덤 변수의 실제 값이 어느 정도 퍼져 있는 정도를 표현하는 음수가 아닌 실수
- 분산이 크면 관측값이 평균적으로 더 많이 퍼졌다는 뜻
- Cell 내의 서로 다른 지역에 있는 가입자들의 호 발생 유형이 어떠한 가를 표현할 때 유용함
- 해당 값을 알면 그 Cell에서의 동시 통화수를 예측하는데 이용 됨
- 또, 새로운 호는 서로 다른 시간에 발생하고, 따라서 호 발생은 연속 랜덤 변수가 아닌 이산 랜덤 변수로 표현
호 지속 시간(가입자의 통화 시간)은 가변적
- 어느 한 채널이 통화 중인 시간의 비율은 호 발생률과 호 지속 시간의 가중치에 좌우 됨
인접 채널들 간의 간섭
- 각 채널이 얼마나 긴 시간 동안 사용되었는가 에 좌우 됨
트래픽의 특성을 표현하기 위해서는 해당 모멘트 함수(Moment Function)들을 모두 계산해야 함
- 변수들을 정량화함으로써 시스템 성능에 대한 영향을 이해할 수 있게 됨

이산 랜덤 변수

- 기대치 또는 평균값

$$
E[X] = \sum_{\mbox{all} k}{k^nP(X=k)}\qquad\qquad\cdots (2.9)
$$ {2.9}

이산 랜덤 변수 Χ로 정의된 함수 g(X)의 기대치는 X의 분포에 의거하여 g(X) 값으로 새로이 정의된 또 다른 변수 Y의 평균값이다.
이 값은 E[g(X)]로 표현하고, 식(2.10)과 같이 구할 수 있다.

$$
E[g(x)] = \sum_{\mbox{all} k}{g(k)P(X=k)}\qquad\qquad\cdots (2.10)
$$ {2.10}

- n차 모멘트

$$
E[X^n] = \sum_{\mbox{all} k}{k^nP(X=k)} \qquad\qquad\cdots (2.11)
$$

X의 1차 모멘트는 바로 X의 평균이 된다.

- n차 중심 모멘트

중앙 평균은 평균값을 중심으로 한 평균을 말하며, 아래와 같이 표현된다.

$$
E[(X-E[X])^n] = \sum_{\mbox{all} k}{(k-E[X])^nP(X=k)} \qquad\qquad\cdots (2.12)
$$

1차 중심 모멘트의 값은 0이다.

- 분산 또는 2차 중심 모멘트

$$
\sigma^2 = \mbox{Var}(X) = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 \qquad\qquad\cdots (2.13)
$$

이 식에서 σ는 표준편차라 부름

연속 랜덤 변수

- 기대치 또는 평균값

$$
E[X] = \int_{-\infty}^\infty {xf_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.14)
$$

연속 랜덤 변수 X로 정의된 함수 g(X)의 기대치는 X의 분포에 의거하여 g(X) 값으로 정의된 또 다른 변수 Y의 평균값이다.
이 값은 E[g(X)]로 표현하고, 아래 식과 같이 구할 수 있다.

$$
E[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty {g(x)f_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.15)
$$

- n차 모멘트

$$
E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty {x^nf_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.16)
$$

- n차 중심 모멘트

$$
E[(X-E[X])^n] = \int_{-\infty}^\infty {(x-E[X])^nf_X(x)} {dx}\qquad\qquad\cdots (2.17)
$$

- 분산 또는 2차 중심 모멘트

$$
\sigma^2 = \mbox{Var}(X) = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2\qquad\qquad\cdots (2.13)
$$